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5.2 双变量不等式: 极值点消元单变量

一般地, 设函数 $$f(x)$$ 有两个极值点 $$x_{1} 、 x_{2}$$, 如果我们需要证明与 $$f\left(x_{1}\right)$$ 和 $$f\left(x_{2}\right)$$ 有关的不等式, 或者根据给出的与 $$f\left(x_{1}\right)$$ 和 $$f\left(x_{2}\right)$$ 有关的不等式, 求参数的取值范围, 由于有两个变量 $$\left(x_{1}\right.$$ 和 $$\left.x_{2}\right)$$ 和参数, 处理起来往往较为困难, 这个时候可以运用 $$x_{1} 、 x_{2}$$ 是方程 $$f^{\prime}(x)=0$$ 的实根,来建立 $$x_{1} 、 x_{2}$$ 和参数的关系, 消元化归成单变量问题处理.

例1 已知函数 $$f(x)=\frac{1}{x}-x+a \ln x$$.
- (1) 讨论 $$f(x)$$ 的单调性;
- (2) 若 $$f(x)$$ 存在两个极值点 $$x_{1} 、 x_{2}$$, 证明: $$\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<a-2$$.

解 
- (1) 由题意, $$f(x)$$ 的定义域为 $$(0,+\infty), f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}}-1+\frac{a}{x}=-\frac{x^{2}-a x+1}{x^{2}}$$,
  - (1)当 $$a \leq 2$$ 时, 则 $$x^{2}-a x+1 \geq x^{2}-2 x+1=(x-1)^{2} \geq 0$$, 所以 $$f^{\prime}(x) \leq 0$$, 当且仅当 $$a=2, x=1$$ 时, $$f^{\prime}(x)=0$$, 所以 $$f(x)$$ 在 $$(0,+\infty)$$ 上单调递减;
  - (2) 当 $$a>2$$ 时, 令 $$f^{\prime}(x)=0$$ 得: $$x=\frac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}$$ 或 $$x=\frac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}$$
当 $$x \in\left(0, \frac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}\right) \bigcup\left(\frac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2},+\infty\right)$$ 时, $$f^{\prime}(x)<0$$
当 $$x \in\left(\frac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}, \frac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}\right)$$ 时, $$f^{\prime}(x)>0$$
所以 $$f(x)$$ 在 $$\left(0, \frac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}\right),\left(\frac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2},+\infty\right)$$ 上单调递减;
在 $$\left(\frac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}, \frac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}\right)$$ 上单调递增.
- (2) 由 (1) 知, 当且仅当 $$a>2$$ 时, $$f(x)$$ 存在两个极值点 $$x_{1} 、 x_{2}$$, 且 $$x_{1} 、 x_{2}$$ 是方程 $$x^{2}-a x+1=0$$的两根, 所以 $$x_{1}+x_{2}=a, x_{1} x_{2}=1$$
不妨设 $$x_{1}>x_{2}$$ 知 $$x_{1}>1,0<x_{2}<1$$